חזרה לדף הבית
תרגול חינם
פסיכומטר

המדריך המלא

דף נוסחאות רשמי לפסיכומטרי: 16 הנוסחאות לפרק הכמותי

דף הנוסחאות הרשמי לבחינה הפסיכומטרית: 16 נוסחאות עם הסברים, ציורים ודוגמאות לאלגברה וגיאומטריה — ואיך לתרגל אותן באפליקציה.

להרשמה הרשמית במאל״ו

מאמר מקצועי

מאמר · דף נוסחאות כמותי

דף הנוסחאות הוא אחד הדפים המבוקשים ביותר בקרב נבחנים — וזה לא במקרה. בפרק הכמותי בפסיכומטרי אין זמן להמציא נוסחאות מאפס, ולכן כדאי להכיר מראש את 16 הנוסחאות הרשמיות שמופיעות בדף הנוסחאות של הבחינה.

כאן תמצאו את כל הנוסחאות עם ציור לכל צורה, נוסחה מדויקת והסבר בעברית. אחרי שתשלטו בדף — תרגלו אותן בפסיכומטר כדי שהזכירה תהיה אוטומטית גם תחת לחץ זמן. לפרק הכמותי בכללותו, ראו גם את מדריך הפרק הכמותי.

אלגברה וכללים

1

אחוזים

a%a\% של xx הם:

a100⋅x\frac{a}{100} \cdot x

אחוז הוא חלק מתוך מאה. כדי לחשב כמה זה בפועל, מחלקים את האחוז ב־100 ומכפילים בערך המקורי. לדוגמה: 20% מ־150 שקלים הם 0.2×150=300.2 \times 150 = 30. בבעיות כמותיות, שימו לב אם מבקשים "כמה עלה" או "כמה נשאר" אחרי אחוז.

2

חזקות

לכל מספר a≠0a \neq 0 ולכל מספרים שלמים nn ו־mm:

א. a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

ב. am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

ג. anm=(am)na^{\frac{n}{m}} = (\sqrt[m]{a})^n (כאשר 0<a0 < a, 0<m0 < m)

ד. an⋅m=(an)ma^{n \cdot m} = (a^n)^m

חוקי החזקות עוזרים לפשט ביטויים אלגבריים במהירות. בפרק הכמותי:

  • כלל א׳: חזקה שלילית הופכת את הבסיס לשבר (הכול במכנה).
  • כלל ב׳: כשמכפילים חזקות עם אותו בסיס, מחברים את המעריכים.
  • כלל ג׳: חזקה בשבר קשורה לשורש: השורש והמעריך מחליפים תפקידים.
  • כלל ד׳: בחזקת חזקה מכפילים את המעריכים.

זיהוי מהיר של הכלל המתאים חוסך זמן יקר.

3

כפל מקוצר

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

שתי הנוסחאות הנפוצות ביותר בפסיכומטרי. הראשונה מפתחת ריבוע של סכום או הפרש, והשנייה מזהה "הפרש ריבועים" שמאפשר פירוק מהיר לגורמים. כשמופיע (x+3)(x−3)(x+3)(x-3), התוצאה מיד x2−9x^2-9 בלי להרחיב ידנית.

4

בעיות דרך

דרךזמן=מהירות\frac{\text{דרך}}{\text{זמן}} = \text{מהירות}

בעיות תנועה בנויות על הקשר בין שלושה גדלים: מרחק, זמן ומהירות. אם ידועים שניים, השלישי נגזר מהנוסחה. טיפ: כתבו יחידות עקביות (ק"מ ושעות, או מטרים ושניות) לפני שמציבים במשוואה.

5

בעיות הספק

כמות עבודהזמן=הספק\frac{\text{כמות עבודה}}{\text{זמן}} = \text{הספק}

הספק מודד כמה "עבודה" נעשית ביחידת זמן. שני עובדים יחד מסכמים את ההספקים שלהם, ואם אחד עובד חצי מהזמן של השני, ההספק שלו כפול. זהו אותו מבנה לוגי כמו בעיות דרך, רק עם "כמות עבודה" במקום מרחק.

6

עצרת

n!=n(n−1)(n−2)⋅…⋅2⋅1n! = n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1

עצרת של nn היא מכפלת כל השלמים מ־1 עד nn. לדוגמה: 4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24. מופיעה בעיקר בשאלות הסתברות וספירה. זכרו: 0!=10! = 1 (לפי הגדרה).

גיאומטריה מישורית

7

פרופורציה

אם AD∥BE∥CFAD \parallel BE \parallel CF אז:

ABAC=DEDF\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}

וגם:

ABDE=BCEF\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

כששלושה קטעים מקבילים חותכים שני ישרים, הם יוצרים פרופורציות בין החלקים על כל ישר. משפט זה שימושי בגיאומטריה אנליטית וגם בבעיות חלוקה. ציירו את הקווים המקבילים בטיוטה כדי לראות איזה קטעים מתאימים.

8

משולש

א. שטח משולש עם בסיס aa וגובה hh:

S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}

ב. במשולש ישר־זווית: AC2=AB2+BC2AC^2 = AB^2 + BC^2 (פיתגורס)

ג. במשולש 30°,60°,90°30°, 60°, 90°: הצלע מול 30°30° היא חצי מהיתר

משולש הוא צורה מרכזית בפרק הכמותי. שטח = חצי כפול בסיס כפול גובה. משפט פיתגורס חיוני במשולש ישר־זווית. במשולש 30-60-90, היחסים בין הצלעות קבועים: 1 : √3 : 2, מה שמאפשר פתרון מהיר בלי חישוב מלא.

9

שטח מלבן

S=a⋅bS = a \cdot b

שטח מלבן הוא מכפלת אורך ברוחב. לעיתים שאלה נותנת אלכסון וצלע אחת, ואז צריך למצוא את הצלע השנייה באמצעות פיתגורס לפני חישוב השטח.

10

שטח טרפז

S=(a+b)⋅h2S = \frac{(a+b) \cdot h}{2}

בטרפז, aa ו־bb הם אורכי הבסים המקבילים ו־hh הוא הגובה האנכי ביניהם (לא אורך הזרועות!). הנוסחה ממוצעת את שני הבסים, מכפילה בגובה וחוצה בשניים.

11

זוויות פנימיות במצולע

א. סכום זוויות פנימיות במצולע בעל nn צלעות:

(180n−360)°(180n - 360)°

ב. במצולע משוכלל בעל nn צלעות, כל זווית פנימית:

(180−360n)°\left(180 - \frac{360}{n}\right)°

סכום הזוויות במשולש הוא 180°, בריבוע 360°, ובמחומש 540°. הנוסחה הכללית: (n−2)×180°(n-2) \times 180°. במצולע משוכלל, כל הזוויות שוות, ולכן מחלקים את הסכום ב־nn.

גיאומטריה במרחב ומעגל

12

מעגל ועיגול

א. שטח עיגול: πr2\pi r^2 (כאשר π≈3.14\pi \approx 3.14)

ב. היקף מעגל: 2πr2\pi r

ג. שטח גזרה בזווית x°x°:

πr2⋅x360\pi r^2 \cdot \frac{x}{360}

במעגל, rr הוא הרדיוס. שטח העיגול פרופורציוני לריבוע הרדיוס. היקף פרופורציוני לרדיוס. גזרה (חלק מהעיגול) היא חלק יחסי מהשטח המלא, לפי הזווית המרכזית: x/360x/360 מהמעגל השלם.

13

תיבה וקובייה

א. נפח תיבה: V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c

ב. שטח פנים: 2ab+2bc+2ac2ab + 2bc + 2ac

ג. בקובייה: a=b=ca = b = c

תיבה (מקבילון) מוגדרת בשלושה ממדים. נפח = אורך × רוחב × גובה. שטח הפנים הוא סכום שש המלבנים (כל זוג ממדים פעמיים). בקובייה כל הצלעות שוות, ולכן V=a3V = a^3 ושטח פנים =6a2= 6a^2.

14

גליל

א. שטח צד: 2πr⋅h2\pi r \cdot h

ב. שטח פנים מלא: 2πr2+2πr⋅h=2πr(r+h)2\pi r^2 + 2\pi r \cdot h = 2\pi r(r+h)

ג. נפח: V=πr2⋅hV = \pi r^2 \cdot h

גליל הוא "עיגול שנמשך לגובה". שטח הצד הוא היקף הבסיס כפול הגובה (כמו פתיחת גליל לגליל נייר). שטח הפנים המלא מוסיף שני עיגולי בסיס. הנפח: שטח הבסות כפול הגובה.

15

חרוט

V=πr2⋅h3V = \frac{\pi r^2 \cdot h}{3}

נפח חרוט הוא שליש מנפח גליל עם אותו בסיס ואותו גובה. דמיינו גליל ואז "מצטמצם" לנקודה בקודקוד. אם נתון נפח חרוט ורדיוס, אפשר למצוא גובה: h=3V/(πr2)h = 3V / (\pi r^2).

16

פירמידה

V=S⋅h3V = \frac{S \cdot h}{3}

כאשר SS הוא שטח הבסיס ו־hh הגובה האנכי מהקודקוד לבסיס. כמו החרוט, נפח הפירמידה הוא שליש מנפח מנסרה (פריזמה) עם אותו בסיס וגובה. הבסיס יכול להיות משולש, מרובע או כל מצולע.

יודעים את הנוסחאות? הצעד הבא הוא לתרגל אותן בשאלות אמיתיות — עם משוב מיידי וניתוח חולשות.

מבחן אבחון חינםהתחילו תרגול באפליקציה

מחפשים קיצורי דרך בגיאומטריה? מדריך קיצורי הדרך בגיאומטריה

רוצים לתרגל עכשיו?

מבחן אבחון חינם, דף נוסחאות רשמי ותרגול חכם עם מורה AI — הכל בפסיכומטר.

דף נוסחאות רשמימבחן אבחון חינםהתחילו לתרגל חינם