דלג לתוכן

מרכז למידה · כמותי

קיצורי דרך בגיאומטריה

אוסף טריקים ויזואליים ("קפנדריה") לפתרון מהיר של שאלות גיאומטריה בפסיכומטרי — יחסי שטחים, צורות חסומות וחסימות, ומצבים במרחב. לכל טריק ציור, נוסחה קצרה, והסבר בשורה אחת שאפשר לזכור בעל-פה.

חסכו זמן יקר בפרק הכמותי — בלי הוכחות ארוכות

משולשים ומרובעים

קטע אמצעים במשולש

14S\frac{1}{4}\,S

חיבור אמצעי הצלעות יוצר 4 משולשים חופפים, כל אחד דומה למקורי ביחס 1:2 — ולכן שטחו רבע מהשטח הכולל.

אלכסונים במלבן ובמקבילית

4×14S4 \times \tfrac{1}{4}S

שני האלכסונים מחלקים את המלבן או המקבילית ל-4 משולשים שווי שטח.

שטח אפור = שטח לבן

12S\tfrac{1}{2}\,S

משולשים היושבים על בסיס המקבילית וקודקודם על הצלע הנגדית — שטחם הכולל שווה למחצית שטח המקבילית, בלי קשר לכמותם.

משולשי האלכסונים בטרפז

S1=S2S_1 = S_2

בטרפז, שני המשולשים שנוצרים מהאלכסונים על השוקיים שווים בשטחם זה לזה.

מעגלים וצורות חסומות

ריבוע חסום במעגל

a=r2a = r\sqrt{2}

צלע ריבוע החסום במעגל שווה לרדיוס כפול שורש 2 (האלכסון הוא הקוטר).

ריבוע חוסם מעגל

a=2ra = 2r

צלע ריבוע החוסם מעגל שווה לקוטר, כלומר פעמיים הרדיוס.

מעגל פנימי בריבוע

Sin=12SoutS_{\text{in}} = \tfrac{1}{2}\,S_{\text{out}}

יחס הרדיוסים בין המעגל החסום לחוסם הוא 1:√2, ולכן שטח המעגל הפנימי הוא בדיוק מחצית משטח המעגל החיצוני.

משולש שווה-צלעות במעגל

ain=r3a_{\text{in}} = r\sqrt{3}

צלע משולש שווה-צלעות החסום במעגל שווה r√3, והחוסם 2r√3. יחס הצלעות 1:2 ולכן יחס השטחים 1:4.

מלבן וטרפז חסומים במעגל

d=2rd = 2r

אלכסוני מלבן החסום במעגל הם קטרים; כל טרפז החסום במעגל הוא שווה-שוקיים.

מעגלים משיקים על הקוטר

P=PiP = \textstyle\sum P_i

היקף המעגל החיצוני שווה לסכום היקפי כל המעגלים המשיקים על הקוטר. ככל שיש יותר מעגלים — שטחם הכולל קטֵן.

מעגל שקוטרו רדיוס

14S\frac{1}{4}\,S

מעגל שקוטרו שווה לרדיוס של מעגל אחר — שטחו רבע משטח המעגל הגדול.

זווית משיקים במעגלים זהים

6060^{\circ}

במעגלים זהים ומשיקים, הזווית בין שני ישרים היוצאים ממרכז אחד ומשיקים לשני היא 60°.

מצולעים משוכללים

משושה = 6 משולשים

6×6 \times \triangle

משושה משוכלל מורכב מ-6 משולשים שווי-צלעות זהים היוצאים מהמרכז.

גובה המשושה המשוכלל

h=a3h = a\sqrt{3}

הגובה (המרחק בין שתי צלעות נגדיות) במשושה משוכלל שווה לצלע כפול שורש 3.

מעוין במחומש

\diamondsuit

במחומש משוכלל, העברת שני אלכסונים סמוכים יוצרת מעוין. הזווית בין אלכסונים סמוכים שווה לזווית המצולע.

זוויות חיצוניות במצולע

θext=360\textstyle\sum \theta_{\text{ext}} = 360^{\circ}

סכום הזוויות החיצוניות של כל מצולע (משוכלל או לא) הוא תמיד 360°.

גופים במרחב

אלכסון פנימי בקובייה

d=a3d = a\sqrt{3}

האלכסון הפנימי בקובייה שווה לצלע כפול שורש 3. טיפ לזכירה: בריבוע (דו-מימד) האלכסון a√2, ובקובייה (תלת-מימד) a√3.

חרוטים חסומים בגליל

V=13VcylV = \tfrac{1}{3}\,V_{\text{cyl}}

סכום נפחי החרוטים החסומים בגליל (עם אותו בסיס וגובה) שווה לשליש מנפח הגליל — בלי קשר לכמות החרוטים.

חצי עליון של חרוט

Vtop=18VV_{\text{top}} = \tfrac{1}{8}\,V

בחיתוך אופקי בדיוק בחצי הגובה: החרוט הקטן העליון הוא ⅛ מהנפח, והחלק התחתון (פרוסטום) הוא ⅞.

שינוי רדיוס וגובה

kV=kr2khk_V = k_r^{2}\cdot k_h

כדי לדעת פי כמה משתנה הנפח: מעלים את שינוי הרדיוס בריבוע וכופלים בשינוי הגובה. לדוגמה רדיוס ×2 וגובה ×3 → נפח פי 12.

שטח פנים בקובייה הונגרית

+0, +2, +4+0,\ +2,\ +4

הוצאת קובייה פינתית לא משנה את שטח הפנים; קוביית קצה מגדילה אותו ב-2 פאות; קובייה ממרכז פאה — ב-4 פאות.

הטריקים נועדו לפתרון מהיר ולבדיקת סבירות. לנוסחאות המלאות והמדויקות עברו לדף הנוסחאות הרשמי. הצורות להמחשה בלבד ואינן משורטטות בקנה מידה.